Class X Math all chapters Question Solved NCERT

Exercise 1.4 Math Class X

🟢 Q1. Prove that √5 is irrational.

✅ Proof (English):

Assume √5 is rational.
Then,$$\sqrt{5} = \frac{a}{b}$$5​=ba​

where a and b are coprime integers and b ≠ 0.

Squaring both sides,$$5 = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow a^2 = 5b^2$$5=b2a2​⇒a2=5b2

So, a² is divisible by 5 ⇒ a is divisible by 5.
Let a = 5k.

Substitute:$$(5k)^2 = 5b^2 \Rightarrow 25k^2 = 5b^2 \Rightarrow b^2 = 5k^2$$(5k)2=5b2⇒25k2=5b2⇒b2=5k2

Thus b is also divisible by 5.
This contradicts the assumption that a and b are coprime.

👉 Therefore, √5 is irrational.

---

✅ প্ৰমাণ (অসমীয়া):

ধৰি লওঁ √5 এটা যৌক্তিক সংখ্যা।
তেতিয়া,$$\sqrt{5} = \frac{a}{b}$$5​=ba​

য’ত a আৰু b একে মৌলিক গুণনীয়ক নথকা পূৰ্ণসংখ্যা।

বৰ্গ কৰিলে,$$5 = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow a^2 = 5b^2$$5=b2a2​⇒a2=5b2

ইয়াৰ অৰ্থ a 5 ৰে বিভাজ্য।
ধৰি লওঁ a = 5k।

স্থাপন কৰি পাই,$$b^2 = 5k^2$$b2=5k2

অতএব b ও 5 ৰে বিভাজ্য।
ইয়াৰ ফলত a আৰু b সহমৌলিক নহয়।

👉 ই এটা বিৰোধাভাস।
অতএব, √5 অযৌক্তিক সংখ্যা।

---

🟢 Q2. Prove that 3 + √5 is irrational.

✅ Proof (English):

Assume 3 + √5 is rational.

Then,$$\sqrt{5} = (3 + \sqrt{5}) – 3$$5​=(3+5​)−3

Difference of two rational numbers is rational.
So √5 would be rational, which is false.

👉 Therefore, 3 + √5 is irrational.

---

✅ অসমীয়া প্ৰমাণ:

ধৰি লওঁ 3 + √5 এটা যৌক্তিক সংখ্যা।

তেতিয়া,$$\sqrt{5} = (3 + \sqrt{5}) – 3$$5​=(3+5​)−3

যৌক্তিক সংখ্যাৰ পাৰ্থক্যো যৌক্তিক।
কিন্তু √5 অযৌক্তিক।

👉 সেয়েহে 3 + √5 অযৌক্তিক।

---

🟢 Q3. Prove that 3√5 is irrational.

✅ Proof (English):

Assume 3√5 is rational.

Then,$$\sqrt{5} = \frac{3\sqrt{5}}{3}$$5​=335​​

Rational ÷ non-zero rational = rational.
So √5 would be rational → contradiction.

👉 Therefore, 3√5 is irrational.

---

✅ অসমীয়া:

ধৰি লওঁ 3√5 যৌক্তিক।$$\sqrt{5} = \frac{3\sqrt{5}}{3}$$5​=335​​

ইয়াৰ ফলত √5 যৌক্তিক হয়।
কিন্তু ই ভুল।

👉 সেয়েহে 3√5 অযৌক্তিক।

---

🟢 Q4. Prove that √7 is irrational.

✅ Proof (Short Method):

Assume √7 = a/b (a, b coprime)

Squaring:$$7b^2 = a^2$$7b2=a2

So a divisible by 7 ⇒ b also divisible by 7
Contradiction.

👉 √7 is irrational

---

✅ অসমীয়া:

ধৰি লওঁ √7 = a/b

বৰ্গ কৰিলে,$$a^2 = 7b^2$$a2=7b2

a আৰু b দুয়ো 7 ৰে বিভাজ্য → বিৰোধাভাস

👉 √7 অযৌক্তিক

---

🟢 Q5. Prove that 2 + √3 is irrational.

✅ Proof:

Assume 2 + √3 is rational.$$\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3}) – 2$$3​=(2+3​)−2

Contradiction since √3 is irrational.

👉 2 + √3 is irrational

---

✅ অসমীয়া:

যদি 2 + √3 যৌক্তিক হয়
তেতিয়া √3 যৌক্তিক হয় → অসম্ভৱ

👉 2 + √3 অযৌক্তিক

---

📌 HSLC Answer Writing Tips (Very Important)

✔ Always start with “Assume…”
✔ Show contradiction clearly
✔ End with “Hence proved”
✔ Write neatly – proof = sure full marks